Логические исследования

Естественное обобщение тьюринговой модели вычислимости

2024-01-04T00:51:10+03:00

Тьюрингова модель вычислимости – это модель алгоритмических символьных преобразований, которые в принципе способны выполнить люди. Тезис Чёрча-Тьюринга – утверждение о полноте построенных ими формализмов относительно данной модели. Алгоритмические преобразования применимы не только к символам, но и к физическим предметам. Некоторые из таких преобразований можно представлять и анализировать средствами тьюрингова формализма путем специального символьного кодирования. В то же время существуют физические алгоритмы, которые выходят далеко за рамки стандартной тьюринговой модели. Примерами являются кулинарные рецепты, медицинские процедуры, технологические процессы и пр. Их общей чертой является не только оперирование физическими предметами, но и обращение к внешним физическим процессам. Общему определению алгоритма, как предписания о последовательности действий для получения искомого результата, удовлетворяет явление целенаправленного поведения. Символьные вычисления – частный случай целенаправленного поведения.

Для анализа целенаправленного поведения могут быть использованы модели комбинированной временной и динамической логики. Такой анализ позволяет прийти к выводу, что существуют по крайней мере три вида элементарных правил, лежащих в основе сложного целенаправленного поведения: 1) пассивно-процессуальные – "Если имеет место процесс $P$, то ничего не делай, а дождись, когда он сам приведет тебя к искомой цели $G$"; 2) конструктивные – "Если имеет место $C$, выполни действие $d$, непосредственный результат которого и есть искомая цель $G$"; 3) конструктивно-процессуальные – "Если имеет место $C$, выполни действие $d$, чтобы его непосредственный результат $R$ инициировал процесс $P$, который и приведет к искомой цели $G$". Комбинированная логика позволяет определить условия корректности данных правил. Конструктивно-процессуальные правила обладают свойством универсальности, так как к ним редуцируемы два других вида правил.

В работе дано определение T-машин (телеологических машин), реализующих сложное целенаправленное поведение, и проведен их сравнительный анализ с машинами Тьюринга. Показано, что в рамках обобщенной модели алгоритмической вычислимости существуют функции, которые вычислимы в ней, но не вычислимы по Тьюрингу. В новой модели алгоритмы обладают статусом законов природы, связанных с возникновением и эволюцией живых существ. Алгоритмическая модель целенаправленного поведения естественным образом применима для описания и анализа социальной сферы.

Простой пример блокировки аргумента Крейга

2024-01-04T00:51:10+03:00

Уильям Крейг сделал наблюдение, состоящее в том, что при довольно общих условиях выполняется следующее: если теория имеет рекурсивно перечислимую аксиоматику, то она имеет и рекурсивную аксиоматику. В работе обсуждаются эти условия и строится пример теории, когда условия теоремы Крейга не выполнены; в частности, построенная теория имеет рекурсивно перечислимую аксиоматику, но не имеет рекурсивной аксиоматики. При этом, добавив к правилам вывода построенной теории допустимое в ней правило, получаем теорию с тем же множеством теорем, но уже имеющую рекурсивную аксиоматику.

О трехзначных расширениях логики Клини

2024-01-04T00:51:10+03:00

Статья посвящена одной из наиболее известных трехзначных систем – логике Клини. Исследуются выразительные возможности логики Клини и ее трехзначных расширений. Мы представляем два результата. Во-первых, найдены все возможные трехзначные расширения логики Клини – с точностью до эквивалентности относительно взаимной определимости связок. Показано, что существует всего двенадцать таких расширений. Этот список включает как логики, уже известные в литературе, так и совершенно новые. Для найденных расширений описана структура решетки, упорядоченной относительно выразительной силы ее элементов. Во-вторых, для логики Клини и ее трехзначных расширений установлено, сколько надлогик в том же языке имеет каждая из этих логик. Логика Клини имеет лишь две собственных надлогики: классическую и тривиальную. В общем случае, трехзначная логика, в которой определима матрица логики Клини, содержит не более трех собственных надлогик: классическую, тривиальную, а также промежуточную логику, задаваемую умножением матрицы исходной логики на матрицу классической логики в той же сигнатуре. Промежуточная логика существует только для двух типов трехзначных расширений логики Клини: в расширениях, эквивалентных логике Лукасевича, а также в логиках, матрицы которых содержат как бивалентную подматрицу, универсумом которой выступают классические значения истинности, так и подматрицу, универсум которой состоит из одного лишь промежуточного значения. Все трехзначные расширения логики Клини, которые не сохраняют классические значения, имеют только одну собственную надлогику – тривиальную.

Квантовая логика в контексте математического обоснования квантовой механики

2024-01-04T00:51:10+03:00

Квантовая логика, предстающая сейчас перед нами в виде большого числа философских и математических статей и книг, возникла в ходе решения проблем, касающихся математического обоснования квантовой механики. Однако она явилась новым моментом в цепи исследований, посвященных этим проблемам. Квантовая логика возникла в рамках усилий обеспечить более экономное с математической точки зрения изложение основ квантовой механики. Создание этой теории было реакцией на трудности физико-математического плана, возникающие при стандартном изложении этой теории в рамках математики гильбертова пространства. Дальнейшее развитие квантовой логики шло в различных направлениях, в том числе – создание новой абстрактной аксиоматизации квантовой механики, аксиоматизации, включающей идею вероятности, которая при стандартном изложении квантовой механики вводится на уровне эмпирической интерпретации этой теории.

К вопросу о критерии параполноты логик

2024-01-04T00:51:10+03:00

В статье рассмотрены вопросы, связанные с определением параполных логик. Существуют различные способы формализации основного условия параполноты – требования наличия в логической системе таких формул, что сами эти формулы и их отрицания ложны. Приводятся соответствующие определения параполноты, а также условия эквивалентности некоторых определений. Рассмотрены условия эквивалентности закона исключенного третьего $\varphi \vee\neg\varphi$, закона Клавия $(\neg\varphi \to \varphi) \to \varphi$ и его частного случая $(\varphi \to \neg\varphi) \to \neg\varphi$. Отдельный раздел посвящен вопросам параполного отрицания, а также его модальной интерпретации.

Негибридная логика для кросс-мировой предикации

2024-01-04T00:51:10+03:00

Некоторые предложения естественных языков, такие как “Джон мог быть выше, чем Мэри, как она есть”, приписывают отношения объектам, каждый из которых ассоциирован с некоторым возможным миром. В приведенном примере Мэри ассоциирована с действительным миром, Джон — с одним из возможных миров, который может быть отличен от действительного. Этот феномен — феномен кросс-мировой предикации — не отображается в стандартной модальной логике. Для его отображения были предложены некоторые нестандартные логики, из которых наибольшей выразительной силой обладает гибридная логика Коцурека. Во всех этих логиках используются нестандартные операторы, такие как операторы гибридной логики. В данной статье я предлагаю негибридную модальную логику первого порядка (CWPL), которая отражает кросс-мировую предикацию, демонстрирует значительную выразительную силу (хотя уступает в этом аспекте гибридной логике Коцурека). Преимущество CWPL перед другими логиками этого вида состоит в том, что в ней используются только стандартные операторы. В семантическом плане CWPL базируется на кросс-мировой интерпретации предикатов, при которой экстенсионалы n-местных предикатов определяются не для отдельных миров, а для упорядоченных n-ок миров. Использование такой интерпретации предикатов при оценке формул основано на релятивизации истинности к частичным функциям от переменных к возможным мирам. В статье описаны синтаксис и семантика CWPL, предложен перевод CWPL на язык двусортной логики первого порядка и дано сравнение CWPL и гибридной логики Коцурека в аспекте выразительной силы.

Аксиоматизация логики квантовых вычислений

2024-01-04T00:51:10+03:00

Одной из логических рекомендаций, касающихся квантовых вычислений, является идея использовать квантовый теоретический формализм для представления параллельных рассуждений. С этой целью квантовое вычисление представляется с помощью соответствующих унитарных операторов, предполагающих аргументы и значения в конкретных множествах систем кубитов. Выделив некоторые важные унитарные операторы, играющих особую роль в квантовых вычислениях (логические вентили или quregisters), мы получаем возможность построить язык квантовой вычислительной логики (QCL) (ср. [Каттанео и др. 2003; Каттанео и др., 2004; Далла Кьяра и др., 2004]). Основным понятием семантики этого языка является понятие квантовой вычислительной реализации, когда значением, ассоциированным с любым предложением, является логический вентиль. В отличие от семантики стандартной квантовой логики, QCL-конъюнкция и QCL-дизъюнкция не соответствуют решеточным операциям, так как они, как правило, не являются идемпотентными. Более того, в QCL нарушается принцип слабой дистрибутивности, и нарушаются как принцип исключенного третьего, так и принцип непротиворечия. Наконец, аксиоматизируемость QCL все еще остается открытой проблемой. В статье предлагается аксиоматизация QCL, трактующая ее как разновидность так называемой бинарной логики Гольдблатта. Доказаны некоторые металогические теоремы (паранепротиворечивость и полнота).