Логические исследования

Аналитико-табличное исчисление, адекватное логике суждений существования

Владимир Ильич Маркин — 2024-11-06

В [Маркин, 2021] была построена логическая теория, предназначенная для анализа рассуждений, посылками и заключениями которых являются суждения существования и их булевы комбинации. В ее языке содержится неопределенно-местная константа существования, простые формулы образуются сочленением этой константы с произвольной конечной последовательностью общих терминов — положительных (простых) и отрицательных, сложные формулы образуются с помощью пропозициональных связок. Для этого языка были сформулированы естественная семантика и адекватное ей аксиоматическое исчисление. В данной работе предлагается аналитико-табличный вариант исчисления суждений существования: постулируются правила редукции для формул с константой существования и их отрицаний, вводится понятие аналитической таблицы как последовательности конфигураций, формулируются критерии замкнутости таблицы. Формула $A$ доказуема в данном исчислении, если и только если существует замкнутая аналитическая таблица, первой конфигурацией которой является семейство $\{\{\neg A\}\}$. Доказываются метатеоремы о корректности и полноте данного исчисления относительно семантически построенной логики суждений существования. Предлагается процедура, позволяющая эффективно решать вопрос о доказуемости или недоказуемости произвольной формулы $A$. Особенность этой процедуры состоит в следующем. Выделяется список $\mathcal{T}$ положительных терминов, содержащий все такие термины $P$, что $P$ или $P^\prime$ (отрицательный термин, противоречащий $P$) входят в состав $A$. В состав последней конфигурации входят только множества, элементами которых являются атомарные формулы и их отрицания, причем последовательность терминов после константы существования содержит $P$ или $P^\prime$ для любого $P$ из $\mathcal{T}$. Доказывается метатеорема о разрешимости аналитико-табличного исчисления суждений существования.

Булево-алгебраический подход к полноте для нормальных модальных предикатных логик

Weijun Shi — 2024-11-06

В этой статье представлена инновационная методология для демонстрации полноты в нормальных модальных предикатных логиках. Традиционные доказательства обычно включают построение канонических моделей, в которых возможные миры определяются как максимальные непротиворечивые множества, обладающие определенными свойствами, с большой опорой на формулу Баркана для подтверждения существования этих миров. Наш подход отклоняется от классического метода, используя булевы алгебры и ультрафильтры для построения моделей. В отличие от традиционных методов, наше построение возможных миров не зависит от формулы Баркана; вместо этого данные свойства гарантируются леммой Тарского.

Кроме того, наше доказательство отличается от других булево-алгебраических доказательств полноты в двух ключевых аспектах: оно использует семантику Крипке вместо алгебраической семантики и опирается исключительно на ультрафильтры, тем самым предлагая более лаконичный подход. Эта методология способствует естественному переходу от модальной логики высказываний к модальной логике предикатов и позволяет избежать дополнительной сложности Q-фильтров. В нашей модели класс эквивалентности каждой теоремы нормальной модальной предикатной логики является членом всех миров, тогда как класс эквивалентности каждой не-теоремы является членом некоторых миров. Как следствие, структура этих миров гарантирует, что не-теоремы ложны в модели.

Трехзначные обобщения классической логики в бедных языках: степень максимальности следования

Леонид Юрьевич Девяткин — 2024-11-06

В статье рассмотрены степени максимальности следования в классе C-расширяющих трехзначных логик, языки которых обладают минимальной выразительной силой. Логика называется C-расширяющей, если ее операции совпадают с таковыми для классической логики при ограничении их области определения классическими истинностными значениями. Под степенью максимальности логики понимается множество всех ее дедуктивных расширений в том же языке.

Каждая трехзначная C-расширяющая логика может рассматриваться как языковое расширение одной из десяти трехзначных логик.

Мы даем оценку степени максимальности для каждой из этих логик. В тех случаях, когда степень максимальности конечна, нами получены точные значения. В тех случаях, когда она оказывается бесконечна, приводится нижняя граница мощности решетки дедуктивных расширений соответствующей логики. Исключение составляет одна система, для которой показано, что степень максимальности ее следования континуальна.

Работа посвящена исследованию теоретико-доказательных свойств трехзначных логик на основе выразительных возможностей их языков. Полученные результаты ставят ряд вопросов, намечающих новые направления исследований в этой области.

Переосмысление логических разногласий: критика вербализма и подход, основанный на нормативных ограничениях

Masoud Alvand — 2024-11-06

Логический плюрализм утверждает, что различные концепции логики могут сосуществовать, предполагая, что все приемлемые суждения о достоверности аргумента действительны без соперничества. Эта точка зрения подразумевает, что разногласия между логическими теориями носят чисто словесный характер. Вопреки предложению Коури Киссела о метаязыковых переговорах в качестве объяснения логических разногласий, эта статья ставит под сомнение представление о том, что такие споры носят чисто вербальный характер. Используя вывод наилучшего объяснения, автор приводит доводы в пользу нормативных ограничений на веру в посылки и выводы как более убедительного объяснения логических разногласий.

То ли чаю испить, то ли повеситься, или Логические аспекты желаний в аргументации о действиях

Елена Николаевна Лисанюк — 2024-11-06

Мы предлагаем методику логико-аргументативного анализа утверждений о желаниях, выступающих посылками недемонстративных практических аргументов о действиях, или делиберативных аргументов, позволяющую оценивать такие аргументы как приемлемые или нет в зависимости от разновидности желания. Делиберативные аргументы о том, как поступать для осуществления желания, широко распространены, однако их репрезентацию и оценку затрудняют некогнитивный характер желаний, сложности в разграничении между когнитивными и некогнитивными элементами строения, а также отсутствие внятных критериев приемлемости. В зависимости от связи желания с внутренним состоянием агента и положением дел в мире мы делим их на относительные, предполагающие приведение положения дел в соответствии с желаемым, и абсолютные, не предполагающие этого; реконструируем одиночные делиберативные аргументы при помощи схемы аргументации «к последствиям», разграничивая выражающую приоритетное желание некогнитивную целевую посылку и когнитивную целе-средственную посылку, выражающую мнение об эффективности предпочтений в способах его реализации; и представляем заключение такого аргумента как интенцию мысле-действие агента, принимающего обязательство придерживаться данной линии поведения, по аналогии с дискурсивным обязательством считать истинным заключение демонстративного аргумента. На основе идеи условного обязательства, разработанного Й. ван Бентемом, Д. Гросси и Ф. Лью для динамической деонтической логики действий, мы предлагаем семантическую экспликацию обусловливания между предпочтениями и приоритетами и оцениваем приемлемость таких аргументов в зависимости от того, позволяет ли предпочтительный способ осуществить приоритетное желание. Это позволяет объяснить, почему в составе практических аргументов лишь относительные желания поддаются обоснованию и критике, но не абсолютные. Результаты проиллюстрированы на примере желаний И. Обломова и А. Штольца из романа И.А. Гончарова «Обломов», а также других литературных персонажей.

Идеи неклассической логики Хью Макколла

Хулербен Кок-оолович Кадыг-оол — 2024-11-06

В рамках статьи предпринимается попытка относительно полно рассмотреть идеи неклассической логики шотландского логика, математика и философа Хью Макколла (1837–1909). Впечатленный идеями Дж. Буля, Макколл в 1877 г. предложил свой вариант логической системы, предвосхищая некоторые идеи современной логики. В 1880 г. шотландец указал на неадекватность понимания импликации как отношения следования, а также поставил задачу определить новую импликацию. В результате своих исследований Макколл определил импликацию с помощью оператора «необходимости», а также пришел к идее ограниченности двузначной логики, ввел новые значения, которые можно также трактовать как модальности, причем не только алетические. Еще одной интересной идеей шотландского ученого можно считать вероятностную трактовку истинности высказываний (1897 г.). Он указал на существование вероятных высказываний, принимающих истинностное значение из интервала между 1 и 0. Идеи Х. Макколла вызвали заметную дискуссию, в том числе обширную критику со стороны самых известных ученых-логиков того времени. Несмотря на то, что впоследствии его идеи были во многом забыты, тем не менее можно утверждать, что работы шотландского ученого предвосхитили некоторые значимые открытия в логике конца XIX – начала XX в. В частности, К.И. Льюис ссылался на работы Макколла, указывал, что его идеи основываются на исследованиях последнего, но в более поздних трудах уже не упоминает его. Относительную известность труды шотландца получают уже во второй половине XX в., прежде всего в англоязычной научной литературе, при этом в отечественных трудах по истории логики имя Макколла практически не упоминается.