Два метода построения логических исчислений: логики заключений и логики формул.

Abstract

Логическое исчисление в обычном смысле этого слова - это некоторый метод построения множества всех логически истинных формул (тавтологий), в стандартном случае он состоит в определении аксиом этого множества и правил вывода. Употребляя последние, мы порождаем из формул, о которых известно, что они логически истинные, другие. Поскольку существуют разные взгляды на логическую истинность, строятся разные логические исчисления. Причина, по которой определенное выше понятие логического исчисления надо считать слишком узким, проста: логика занимается, и конечно должна заниматься, не только и даже не прежде всего логической истинностью. Центральное понятие логики - это логическое следование. Правда, вопрос о том, следует ли логически формула а из предпосылок $X$, можно иногда свести к вопросу о логической истинности формулы вида $^X\rightarrow \alpha$, где $^X$ - конъюнкция всех предпосылок $X$, и - импликация. Но, во-первых, нет такой сводимости, когда X либо пустое множество, либо бесконечное, а, во-вторых, нет никакой общей гарантии, что связка импликации, как и связка конъюнкции, входят в язык исчисления. Примером исчисления, которое было построено без связка импликации, является квантовая логика.'

Совсем независимо от упомянутых выше трудностей, прежде чем мы употребим какую-либо двухместную связку $\rightarrow$ как связку "следования", мы должны узнать, годится она для этой цели или нет. Конечно, когда мы знаем, в чем состоит логическое следование, критерии ясны: мы должны проверить все ли фомулы вида дХ-кх логически истинны тогда и только тогда, когда а логически следует из х. Итак, например, в классической логике роль связки следования может играть материальная импликация, хотя, как мы хорошо знаем, такая интерпретация высказывания вида $\alpha \rightarrow \beta$, где материальная импликация, вообще говоря, неверна.

Построение логики формул, как мы будем дальше называть множество всех логически истинных формул, при каком-то фиксированном понятии логической истинности, не порождает само по себе логики заключений. Последнюю можно определить следующим образом.

Заключением называем произвольную фигуру вида $Х\textfractionsolidus \alpha$, где $Х$ множество формул и а формула определенного языка. Если построение логики формул сводится к описанию метода, с помощью которого мы отличаем логически истинные формулы от всех других, то построение логики заключений сводится к построению метода, с помощью которого разделяем все заключения $Х\textfractionsolidus \alpha$ на такие, для которых а следует из $X$, и остальные. Самую же логику заключений можно отождествить с оператором следствия С, таким, что $\alpha\in C_(x)$ тогда и только тогда, когда а логически следует из $X$.

Опять, поскольку имеются различные понимания логического следования, мы строим разные логики заключений.

Логические исчисления в собственном смысле этого слова должны строиться так, чтобы они определяли и логику формул и логику заключений. Как мы это уже отметили, построение логики формул не влечет само по себе построение логики заключений. На первый взгляд, всегда имеет место обратное. Мы привыкли рассматривать как логически истинные те формулы, которые доказуемы из пустого множества формул. Если бы этот взгляд был правильным, то с каждой логикой заключений $С$ связана была бы логика формул $C_(\varnothingc)$, и, конечно, тем самым построение исчисления логических заключений влекло бы построение исчисления логически истинных формул.

Все-таки заметим, что нет никаких очевидных оснований, по которым логическая истинность должна определяться через логическое следование указанным выше способом. На самом деле в некоторых логиках, например во всех релевантных логиках, определение! логической истинности как следования, или доказуемости, из пустого множества посылок просто неверно.

Хотя в общем из определения логики формул не вытекает определение соответствующей ей логики заключений (под соответствующей мы понимаем логику заключений, основанную на тех же самых интуитивных соображениях), а из определения логики заключений не вытекает определение соответствующей ей логики формул, конечно, эти два вида логик (два способа решения вопроса, в чем состоит задача построения логического исчисления) тесно связаны друг с другом. В настоящей статье мы изучаем некоторые формальные аспекты этого соотношения.