Позитивная силлогистика $C3^{+}$ с константой исчерпываемости

Аннотация

Мы строим силлогистическую систему $\mathbf{OC3}^{+}$ со стандартными константами $\mathbf{a}$, $\mathbf{e}$, $\mathbf{i}$, $\mathbf{о}$, а также новыми константами $\mathbf{u}$ и $\mathbf{q}$: утверждение формы $S \mathbf{u} P$ означает “Всякий объект есть $S$ или $P$”; утверждение формы $S \mathbf{q} P$ означает “Некий объект не есть ни S, ни P”. Мы показываем, что $\mathbf{OC3}^{+}$ погружается в исчисление предикатов через следующий перевод $\chi$: $\chi(S\mathbf{a}P) = \forall x (Sx \supset Px) \& \exists xSx \& \exists x \neg Px$, $\chi(S\mathbf{e}P) = \forall x (Sx \supset \neg Px) \& \exists xSx \& \exists xPx$, $\chi(S\mathbf{i}P) = \exists x (Sx \& Px) \vee \neg \exists xSx \vee \neg \exists xPx$, $\chi(S\mathbf{o}P) = \exists x (Sx \& \neg Px) \vee \neg \exists xSx \vee \neg \exists x \neg Px$, $\chi$ : $\chi(S\mathbf{u}P) = \forall x (\neg Sx \supset Px) \& \exists x \neg Sx \& \exists x \neg Px$, $\chi(S\mathbf{q}P) = \exists x (\neg Sx \& \neg Px) \vee \neg \exists x \eg Sx \vee \neg \exists x \neg Px$, $\chi(\neg\mathbf{A}) = \neg \chi(\mathbf{A})$,
$\chi (\mathbf{A}\nabla\mathbf{B}) = \chi(\mathbf{A}) \nabla \chi(\mathbf{B})$, где $\nabla$ есть произвольная бинарная связка.