Два замечания и один вопрос относительно аксиоматизации импликативных логик.
##plugins.themes.bootstrap3.article.main##
Abstract
На одном из семинаров в секторе логики Института философии РАН при обсуждении вопросов, связанных с аксиоматизацией импликативных логик, были, в частности, сделаны два следующих замечания.
Замечание 1 (В.М.Попов): можно доказать, что если к импликативной системе $R_\supset$ определяемой аксиомами рефлексивности и транзитивности импликации, перестановки и сокращения посылок и правилами подстановки и модус поненс (эта система формализует импликативный фрагмент системы $R$ релевантной импликации [1 ]) добавить в качестве единственной новой аксиомы закон Пирса - формулу ($((p\supset q)\supset p)\supset p$, то получится система, формализующая импликативный фрагмент классической пропозициональной логики, а если $R_\supset$ расширить только за счет добавления в качестве аксиомы "ослабленного закона Пирса" - формулы $(((p\supset q)\supset p)\supset q)\supset q$ , то получится система, формализующая импликативный фрагмент интуиционистской пропозициональной логики.
Замечание 2 (А.С.Карпенко): из работы Вайсберга извлекается доказательство того, что систему, формализующую импликативный фрагмент классической пропозициональной логики, можно получить, добавляя закон Пирса в качестве единственной новой аксиомы к более слабой, чем $R_\supset$ , системе - к системе, которая отличается от $R_\supset$ только отсутствием аксиомы сокращения посылок: $(p\supset (p\supset q))\supset (p\supset q)$.
Замечание 1 (В.М.Попов): можно доказать, что если к импликативной системе $R_\supset$ определяемой аксиомами рефлексивности и транзитивности импликации, перестановки и сокращения посылок и правилами подстановки и модус поненс (эта система формализует импликативный фрагмент системы $R$ релевантной импликации [1 ]) добавить в качестве единственной новой аксиомы закон Пирса - формулу ($((p\supset q)\supset p)\supset p$, то получится система, формализующая импликативный фрагмент классической пропозициональной логики, а если $R_\supset$ расширить только за счет добавления в качестве аксиомы "ослабленного закона Пирса" - формулы $(((p\supset q)\supset p)\supset q)\supset q$ , то получится система, формализующая импликативный фрагмент интуиционистской пропозициональной логики.
Замечание 2 (А.С.Карпенко): из работы Вайсберга извлекается доказательство того, что систему, формализующую импликативный фрагмент классической пропозициональной логики, можно получить, добавляя закон Пирса в качестве единственной новой аксиомы к более слабой, чем $R_\supset$ , системе - к системе, которая отличается от $R_\supset$ только отсутствием аксиомы сокращения посылок: $(p\supset (p\supset q))\supset (p\supset q)$.
##plugins.generic.usageStats.downloads##
##plugins.generic.usageStats.noStats##
##plugins.themes.bootstrap3.article.details##
How to Cite
Popov V. Два замечания и один вопрос относительно аксиоматизации импликативных логик. // Logicheskie Issledovaniya / Logical Investigations. 1993. VOL. 2. C. 153-158.
Issue
Section
Papers
References
Anderson A.R., Belnap N.D.Jr, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity. Vol.l. Princeton University Press, Princeton, 1975.
Wajsberg M. Contributions to metalogic 1937 / / WajsbergM. Logical works. Polish Academy of Sciences Institute of Philosophy and Sociology. Wroclaw, 1977.
Генцен Г. Исследования логических выводов / / Математическая теория логического вывода. М.,1967.
Смирнов В А . Формальный вывод и логические исчисления. М.,1972.
Wajsberg M. Contributions to metalogic 1937 / / WajsbergM. Logical works. Polish Academy of Sciences Institute of Philosophy and Sociology. Wroclaw, 1977.
Генцен Г. Исследования логических выводов / / Математическая теория логического вывода. М.,1967.
Смирнов В А . Формальный вывод и логические исчисления. М.,1972.