Два замечания и один вопрос относительно аксиоматизации импликативных логик.

Abstract

На одном из семинаров в секторе логики Института философии РАН при обсуждении вопросов, связанных с аксиоматизацией импликативных логик, были, в частности, сделаны два следующих замечания.

Замечание 1 (В.М.Попов): можно доказать, что если к импликативной системе $R_\supset$ определяемой аксиомами рефлексивности и транзитивности импликации, перестановки и сокращения посылок и правилами подстановки и модус поненс (эта система формализует импликативный фрагмент системы $R$ релевантной импликации [1 ]) добавить в качестве единственной новой аксиомы закон Пирса - формулу ($((p\supset q)\supset p)\supset p$, то получится система, формализующая импликативный фрагмент классической пропозициональной логики, а если $R_\supset$ расширить только за счет добавления в качестве аксиомы "ослабленного закона Пирса" - формулы $(((p\supset q)\supset p)\supset q)\supset q$ , то получится система, формализующая импликативный фрагмент интуиционистской пропозициональной логики.

Замечание 2 (А.С.Карпенко): из работы Вайсберга извлекается доказательство того, что систему, формализующую импликативный фрагмент классической пропозициональной логики, можно получить, добавляя закон Пирса в качестве единственной новой аксиомы к более слабой, чем $R_\supset$ , системе - к системе, которая отличается от $R_\supset$ только отсутствием аксиомы сокращения посылок: $(p\supset (p\supset q))\supset (p\supset q)$.