Решетки четырехзначных модальных логик
Article Sidebar
Опубликован:
21.04.2015
Ключевые слова:
модальные логики, решетки логик, булева алгебра, алгебра Де Моргана, эндоморфизмы, замкнутые классы функций, булевы каскады, логика Tr
Main Article Content
Аннотация
В статье рассматриваются четыре решетки четырехзначных модальных логик. В основе построения лежат различные алгебраические структуры, которые затем последовательно расширяются эндоморфизмами и константными функциями. В первом случае строится решетка расширений булевой алгебры $B^2$, затем строится решетка расширений алгебры Де Моргана $DM4$. В обоих случаях возникают различные модальные логики, свойства которых описываются и сравниваются между собой. Отдельно рассматривается решетка, где появляется тетравалентная модальная логика $TML$. Наконец, первые две решетки «объединяются» и вычленяется класс основных модальных четырехзначных логик, состоящий из$_$-модальной системы Лукасевича, логики Собочиньского $V2$и логики истины фон Вригта $Tr$$^{\prime\prime}$. Особого внимания заслуживает логика $Tr$, которая функционально эквивалентна логике $V2$, и занимает центральное место в последней решетке. Она единственная из всех рассмотренных четырехзначных модальных логик, которая обладает интерполяционным свойством Крейга, и кроме того, является прекрасным кандидатом на роль пропозициональнойлогики истины. В заключение в статье представлена ее аксиоматизация.
Скачивания
Данные скачивания пока не доступны.
Article Details
Как цитировать
Карпенко А. С. Решетки четырехзначных модальных логик // Логические исследования / Logical Investigations. 2015. Т. 21. № 1. C. 122-137.
Выпуск
Раздел
Статьи
Литература
Белнап Н. Как нужно рассуждать компьютеру // Белнап Н., Стил Т. Логика вопросов и ответов. М.: Прогресс, 1981. С. 208–239.
Белнап Н. Об одной полезной четырехзначной логике // Белнап Н., Стил Т. Логика вопросов и ответов. М.: Прогресс, 1981. С. 240–267.
Бочвар Д.А., Финн В.К. О многозначных логиках, допускающих формализацию анализа антиномий. 1 // Исследования по математической лингвистике, математической логике и информационным языкам. М.: Наука, 1972. С. 238–295.
Вригт Г.Х., фон. Логика истины // Вригт Г.Х., фон. Логико-философские исследования. Избранные труды. М.: Прогресс, 1986. C. 555–579.
Ермолаева Н.М., Мучник А.А. Модальные расширения логических исчислений типа Хао Вана // Исследования по формализованным языкам и неклассическим логикам. М.: Наука, 1974. С. 172–193.
Ермолаева Н.М., Мучник А.А. Модальные логики, определяемые эндоморфизмами дистрибутивных решеток // Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. М.: Наука, 1976. С. 229–246.
Ермолаева Н.М., Мучник А.А. Функционально замкнутые 4-значные расширения булевой алгебры и соответствующие логики // Исследования по неклассическим логикам и теории множеств. М.: Наука, 1979. С. 298–315.
Карпенко А.С. Булевы каскады импликативных логик // Смирновские чтения: материалы 2-й международной научной конференции. М.: ИФРАН, 1999. С. 41–44.
Карпенко А.С. Развитие многозначной логики. М.: Издательство ЛКИ, 2010. 448 с.
Леммон Е. Алгебраическая семантика для модальных логик I // Семантика модальных и интенсиональных логик / Ред. В.А. Смирнов. М.: Прогресс, 1981. С. 98–124.
Леммон Е. Алгебраическая семантика для модальных логик II // Семантика модальных и интенсиональных логик / Ред. В.А. Смирнов. М.: Прогресс, 1981. С. 125–165.
Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М.: Иностранная литература, 1959. 312 с.
Попов В.М. Секвенциальные формулировки паранепротиворечивых логических систем // Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. М.: Наука, 1989. C. 285–289.
Томова Н.Е. Импликативные расширения регулярных логик Клини // Логические исследования. 2010. Вып. 16. С. 233–258.
Томова Н.Е. Естественные трехзначные логики: Функциональные свойства и отношения. М.: ИФРАН, 2012. 89 с.
Эсакиа Л. Доказуемостные интерпретации интуиционистской логики // Логические исследования. 1998. Вып. 5. С. 19–24.
Яблонский С.В. Функциональные построения в k-значной логике // Труды математического института им. В. А.Стеклова. 1958. Т. 51. С. 5–142.
Coniglio M.E., Figallo M. Hilbert-style presentation of two logics associated to tetravalent modal algebras // Studia Logica. 2014. Vol. 102(3). P. 525–539.
Font J.M. Belnap’s four-valued logic and De Morgan lattices // Logic Journal of the IGPL. 1997. Vol. 5(3). P. 413–440.
Font J.M., Rius M. An abstract algebraic logic approach to tetravalent modal logics // The Journal of Symbolic Logic. 2000. Vol. 65(2). P. 481–518.
Karpenko A.S. Von Wright’s truth-logic and around // Logical Investigations. 2013. Vol. 19. P. 39–50.
Lewis C.I., Langford C.H. Symbolic Logic. N.Y.: Dover Publications, 1959 (2nd ed. with corrections). 506 p.
Lukasiewicz J. A system of modal logic // The Journal of Computing Systems. 1953. Vol. 1. P. 111–149.
Pynko A.P. Functional completeness and axiomatizability within Belnap’s fourvalued logic and its expansion // Journal of Applied Non-Classical Logics. 1999. Vol. 9(1). P. 61–105.
Sobochinski B. Modal system S4.4 // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1964. Vol. 5(4). P. 305–312.
Sobochinski B. Family K of the non-Lewis modal systems // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1964. Vol. 5(4). P. 313–318.
Zeman J.J. A study of some systems in the neighborhood of S4.4 // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1971. Vol. XII(3). P. 341–357.
Белнап Н. Об одной полезной четырехзначной логике // Белнап Н., Стил Т. Логика вопросов и ответов. М.: Прогресс, 1981. С. 240–267.
Бочвар Д.А., Финн В.К. О многозначных логиках, допускающих формализацию анализа антиномий. 1 // Исследования по математической лингвистике, математической логике и информационным языкам. М.: Наука, 1972. С. 238–295.
Вригт Г.Х., фон. Логика истины // Вригт Г.Х., фон. Логико-философские исследования. Избранные труды. М.: Прогресс, 1986. C. 555–579.
Ермолаева Н.М., Мучник А.А. Модальные расширения логических исчислений типа Хао Вана // Исследования по формализованным языкам и неклассическим логикам. М.: Наука, 1974. С. 172–193.
Ермолаева Н.М., Мучник А.А. Модальные логики, определяемые эндоморфизмами дистрибутивных решеток // Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. М.: Наука, 1976. С. 229–246.
Ермолаева Н.М., Мучник А.А. Функционально замкнутые 4-значные расширения булевой алгебры и соответствующие логики // Исследования по неклассическим логикам и теории множеств. М.: Наука, 1979. С. 298–315.
Карпенко А.С. Булевы каскады импликативных логик // Смирновские чтения: материалы 2-й международной научной конференции. М.: ИФРАН, 1999. С. 41–44.
Карпенко А.С. Развитие многозначной логики. М.: Издательство ЛКИ, 2010. 448 с.
Леммон Е. Алгебраическая семантика для модальных логик I // Семантика модальных и интенсиональных логик / Ред. В.А. Смирнов. М.: Прогресс, 1981. С. 98–124.
Леммон Е. Алгебраическая семантика для модальных логик II // Семантика модальных и интенсиональных логик / Ред. В.А. Смирнов. М.: Прогресс, 1981. С. 125–165.
Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М.: Иностранная литература, 1959. 312 с.
Попов В.М. Секвенциальные формулировки паранепротиворечивых логических систем // Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. М.: Наука, 1989. C. 285–289.
Томова Н.Е. Импликативные расширения регулярных логик Клини // Логические исследования. 2010. Вып. 16. С. 233–258.
Томова Н.Е. Естественные трехзначные логики: Функциональные свойства и отношения. М.: ИФРАН, 2012. 89 с.
Эсакиа Л. Доказуемостные интерпретации интуиционистской логики // Логические исследования. 1998. Вып. 5. С. 19–24.
Яблонский С.В. Функциональные построения в k-значной логике // Труды математического института им. В. А.Стеклова. 1958. Т. 51. С. 5–142.
Coniglio M.E., Figallo M. Hilbert-style presentation of two logics associated to tetravalent modal algebras // Studia Logica. 2014. Vol. 102(3). P. 525–539.
Font J.M. Belnap’s four-valued logic and De Morgan lattices // Logic Journal of the IGPL. 1997. Vol. 5(3). P. 413–440.
Font J.M., Rius M. An abstract algebraic logic approach to tetravalent modal logics // The Journal of Symbolic Logic. 2000. Vol. 65(2). P. 481–518.
Karpenko A.S. Von Wright’s truth-logic and around // Logical Investigations. 2013. Vol. 19. P. 39–50.
Lewis C.I., Langford C.H. Symbolic Logic. N.Y.: Dover Publications, 1959 (2nd ed. with corrections). 506 p.
Lukasiewicz J. A system of modal logic // The Journal of Computing Systems. 1953. Vol. 1. P. 111–149.
Pynko A.P. Functional completeness and axiomatizability within Belnap’s fourvalued logic and its expansion // Journal of Applied Non-Classical Logics. 1999. Vol. 9(1). P. 61–105.
Sobochinski B. Modal system S4.4 // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1964. Vol. 5(4). P. 305–312.
Sobochinski B. Family K of the non-Lewis modal systems // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1964. Vol. 5(4). P. 313–318.
Zeman J.J. A study of some systems in the neighborhood of S4.4 // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1971. Vol. XII(3). P. 341–357.