Lattices of Four-valued Modal Logics

##plugins.themes.bootstrap3.article.main##

A. S. Karpenko

Abstract

In this paper four lattices of four-valued modal logics are considered. Different algebraic structures are the basis for construction, then these structures are gradually extended by the endomorphisms and constant functions. In the first case, the lattice of extensions of Boolean algebra $B^2$ is formed, then the lattice of extensions of De Morgan algebra $DM4$ is constructed. In both cases the different modal logics appear, the properties of which are described and compared. The lattice with tetravalent modal logic $TML$ is considered individually. Finally, the first two lattices are joined and the class of basic four-valued modal logics is singled out. This class consists of$_$-modal system of _ukasiewicz, logic $V2$ of Sobochin__ski and von Wright’s truth-logic $Tr$$^{\prime\prime}$. Special attention should be paid to the logic $Tr$, which is functionally equivalent to the logic $V2$ and occupies a central place in the final lattice. This logic is the only of the above-considered logics which has the Craig’s interpolation property, and besides is an excellent candidate for the role of propositional logic of truth. In conclusion its axiomatization is presented.

##plugins.generic.usageStats.downloads##

##plugins.generic.usageStats.noStats##

##plugins.themes.bootstrap3.article.details##

Section
Статьи

References

Белнап Н. Как нужно рассуждать компьютеру // Белнап Н., Стил Т. Логика вопросов и ответов. М.: Прогресс, 1981. С. 208–239.
Белнап Н. Об одной полезной четырехзначной логике // Белнап Н., Стил Т. Логика вопросов и ответов. М.: Прогресс, 1981. С. 240–267.
Бочвар Д.А., Финн В.К. О многозначных логиках, допускающих формализацию анализа антиномий. 1 // Исследования по математической лингвистике, математической логике и информационным языкам. М.: Наука, 1972. С. 238–295.
Вригт Г.Х., фон. Логика истины // Вригт Г.Х., фон. Логико-философские исследования. Избранные труды. М.: Прогресс, 1986. C. 555–579.
Ермолаева Н.М., Мучник А.А. Модальные расширения логических исчислений типа Хао Вана // Исследования по формализованным языкам и неклассическим логикам. М.: Наука, 1974. С. 172–193.
Ермолаева Н.М., Мучник А.А. Модальные логики, определяемые эндоморфизмами дистрибутивных решеток // Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. М.: Наука, 1976. С. 229–246.
Ермолаева Н.М., Мучник А.А. Функционально замкнутые 4-значные расширения булевой алгебры и соответствующие логики // Исследования по неклассическим логикам и теории множеств. М.: Наука, 1979. С. 298–315.
Карпенко А.С. Булевы каскады импликативных логик // Смирновские чтения: материалы 2-й международной научной конференции. М.: ИФРАН, 1999. С. 41–44.
Карпенко А.С. Развитие многозначной логики. М.: Издательство ЛКИ, 2010. 448 с.
Леммон Е. Алгебраическая семантика для модальных логик I // Семантика модальных и интенсиональных логик / Ред. В.А. Смирнов. М.: Прогресс, 1981. С. 98–124.
Леммон Е. Алгебраическая семантика для модальных логик II // Семантика модальных и интенсиональных логик / Ред. В.А. Смирнов. М.: Прогресс, 1981. С. 125–165.
Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М.: Иностранная литература, 1959. 312 с.
Попов В.М. Секвенциальные формулировки паранепротиворечивых логических систем // Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. М.: Наука, 1989. C. 285–289.
Томова Н.Е. Импликативные расширения регулярных логик Клини // Логические исследования. 2010. Вып. 16. С. 233–258.
Томова Н.Е. Естественные трехзначные логики: Функциональные свойства и отношения. М.: ИФРАН, 2012. 89 с.
Эсакиа Л. Доказуемостные интерпретации интуиционистской логики // Логические исследования. 1998. Вып. 5. С. 19–24.
Яблонский С.В. Функциональные построения в k-значной логике // Труды математического института им. В. А.Стеклова. 1958. Т. 51. С. 5–142.
Coniglio M.E., Figallo M. Hilbert-style presentation of two logics associated to tetravalent modal algebras // Studia Logica. 2014. Vol. 102(3). P. 525–539.
Font J.M. Belnap’s four-valued logic and De Morgan lattices // Logic Journal of the IGPL. 1997. Vol. 5(3). P. 413–440.
Font J.M., Rius M. An abstract algebraic logic approach to tetravalent modal logics // The Journal of Symbolic Logic. 2000. Vol. 65(2). P. 481–518.
Karpenko A.S. Von Wright’s truth-logic and around // Logical Investigations. 2013. Vol. 19. P. 39–50.
Lewis C.I., Langford C.H. Symbolic Logic. N.Y.: Dover Publications, 1959 (2nd ed. with corrections). 506 p.
Lukasiewicz J. A system of modal logic // The Journal of Computing Systems. 1953. Vol. 1. P. 111–149.
Pynko A.P. Functional completeness and axiomatizability within Belnap’s fourvalued logic and its expansion // Journal of Applied Non-Classical Logics. 1999. Vol. 9(1). P. 61–105.
Sobochinski B. Modal system S4.4 // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1964. Vol. 5(4). P. 305–312.
Sobochinski B. Family K of the non-Lewis modal systems // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1964. Vol. 5(4). P. 313–318.
Zeman J.J. A study of some systems in the neighborhood of S4.4 // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1971. Vol. XII(3). P. 341–357.