Теоретико-множественная семантика для системы Гейтинга Int

Аннотация

Рассматривается методика построения теоретико-множественных семантик для систем Льюиса $S4$, $S5$, не использующая понятий «возможный мир» и «модельная структура». Исходной является идея последовательной интерпретации каждого элементарного высказывания, входящего в формулу, в терминах $\{N, C, I\}$, т.е. в качестве логически истинного, логически недетерминированного, логически невозможного. В результате таких ограничений допустимых истинностных значений переменных формулы из исходного множества описаний состояний (о.с.) для неё исключаются некоторые о.с., т.е. на основе метаоценок $\{N, C, I\}$на базе исходного множества о.с. для формулы образуются ограниченные, дополнительно ограниченные (для системы $S5$) и относительно ограниченные (для системы $S4$) множества описаний состояний и их семейства, выполняющие роль модельных структур традиционных семантик возможных миров. В качестве возможного мира при этом рассматривается классическое о.с. Предлагаемые семантики используют только традиционные для логики понятия истинности, ложности, совместимости/несовместимости высказываний по истинности/ложности и т.д. Кроме того, число ограниченных, дополнительно и относительно ограниченных множеств о.с. для произвольной формулы всегда конечно. В работе предлагаются алгоритмы характеризации и пересчёта подобных конструкций для формул с произвольным конечным числом переменных. На основе известного перевода МакКинси–Тарского формул системы $Int$ в $S4$ предлагается теоретико-множественная семантика указанного типа для пропозиционального фрагмента системы $Int$. В качестве возможного мира рассматривается классическое о.с., а роль модельных структур семантик возможных миров выполняют конечные упорядоченные множества о.с. для формулы. При этом смысл интуиционистских связок моделируется в классическом по своим свойствам метаязыке с кванторами по о.с. и их множествам.DOI: 10.21146/2074-1472-2016-22-2-9-26