О континуальном классе четырехзначных максимально паранормальных логик

Аннотация

В современной философской логике важное место занимает проблема противоречивой или неполной информации. Широкое применение в этой области получили методы многозначной логики. Одним из перспективных направлений является изучение четырехзначных логик, допускающих работу как с противоречивой, так и с неполной информацией одновременно. Данная работа лежит именно в рамках этого подхода.

Эта статья посвящена континуально бесконечному множеству четырехзначных максимально паранормальных логик. Я описываю четырехзначную матрицу, которая задает логику $\mathbf{I}^{1}\mathbf{P}^1$, и демонстрирую, что, хотя она ни сильно максимально паранепротиворечива, ни сильно максимально параполна, существует континуально много четырехзначных языковых расширений этой логики, обладающих данными свойствами.

Решение поставленной задачи организовано следующим образом. Сначала я строю четырехзначные матрицы логик $\mathbf{P}^1$ и $\mathbf{I}^1$. Оказывается, что матрица $\mathbf{I}^{1}\mathbf{P}^1$ представляет собой функциональное расширение как первой, так и второй. Из этого следует, что $\mathbf{I}^{1}\mathbf{P}^1$ есть языковой вариант общего языкового расширения $\mathbf{P}^1$ и $\mathbf{I}^1$. Известно, что $\mathbf{P}^1$ и все ее языковые расширения сильно максимально паранепротиворечивы. Поскольку логика $\mathbf{I}^1$ дуальна $\mathbf{P}^1$, как она сама, так и все ее языковые расширения сильно максимально параполны. Однако, хотя $\mathbf{P}^1$ и $\mathbf{I}^1$ погрузимы в $\mathbf{I}^{1}\mathbf{P}^1$, неверно, что она сильно максимально паранепротиворечива или сильно максимально параполна. В то же время этими свойствами обладает ряд ее языковых расширений.

Далее вычисляется нижняя граница числа всех языковых расширений $\mathbf{I}^{1}\mathbf{P}^1$ интересующего нас типа. Для этого я показываю, что множество всех операций, определимых в матрице $\mathbf{I}^{1}\mathbf{P}^1$, обогащенной операторами $\bot_{f}$ и $\top_{t}$, имеет континуальное множество попарно различных замкнутых надмножеств. Строим замкнутый класс функций $F$ четырехзначной логики, имеющий счетный базис. Такой класс содержит континуально много попарно различных подклассов. В заключение демонстрируем, что никакие два подкласса $F$, дополненные операциями матрицы $\mathbf{I}^{1}\mathbf{P}^1$, $\bot_{f}$ и $\top_{t}$, не окажутся эквивалентны при замыкании относительно суперпозиции. DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-85-91