Конечная аксиоматизируемость квазинормальных модальных логик
Article Sidebar
Опубликован:
21.05.2019
Ключевые слова:
квазинормальные логики, квазинормальные напарники нормальных логик, абсолютная аксиоматизация, относительная аксиоматизация, конечная аксиоматизируемость
Main Article Content
Аннотация
Квазиномальными модальными логиками называют логики в модальном языке, которые содержат логику ${\bf K}$, замкнуты по правилу modus ponens и для которых не постулирована
замкнутость относительно правила Гёделя. До последнего времени этим логикам уделялось мало внимания, несмотря на то, что среди первых систем модальных логик, сформулированных К. И. Льюисом, содержались и квазинормальные логики. Здесь мы рассмотрим вопрос о конечной аксиоматизируемости квазинормальных модальных логик.
Как известно, квазинормальный напарник логики ${\bf K}$ не имеет конечной аксиоматизации. Кроме того, существуют и другие модальные нормальные конечно-аксиоматизируемые логики, квазинормальные напарники которых не имеют конечной аксиоматизации, например логика ${\bf D}$. Поэтому вопрос о конечной аксиоматизируемости той или иной модальной квазинормальной логики нетривиален.
Отметим, что известные частные критерии конечной аксиоматизируемости квазинормальных логик сформулированы только для квазинормальных напарников нормальных модальных логик.
В данной работе получено обобщение этих частных критериев на случай произвольных квазинормальных модальных логик, попутно указана возможная аксиоматизация этих логик. Таким образом, получен частный критерий конечной аксиоматизируемости, общий как для квазинормальных напарников нормальных логик, так и для квазинормальных логик, которые таковыми не являются.
Также в работе приведен алгоритм, который по относительной аксиоматизации квазинормальной логики $L$ над квазинормальным вариантом логики ${\bf K}$ дает абсолютную аксиоматизацию логики $L$.
Отдельно рассмотрены аксиоматизации расширений логики ${\bf K4}$. Сформулирован частный критерий конечной аксиоматизируемости расширений этой логики. Приведен алгоритм, который по относительной аксиоматизации квазинормальной логики $L$ над квазинормальным вариантом логики ${\bf K4}$ дает абсолютную аксиоматизацию логики $L$.
замкнутость относительно правила Гёделя. До последнего времени этим логикам уделялось мало внимания, несмотря на то, что среди первых систем модальных логик, сформулированных К. И. Льюисом, содержались и квазинормальные логики. Здесь мы рассмотрим вопрос о конечной аксиоматизируемости квазинормальных модальных логик.
Как известно, квазинормальный напарник логики ${\bf K}$ не имеет конечной аксиоматизации. Кроме того, существуют и другие модальные нормальные конечно-аксиоматизируемые логики, квазинормальные напарники которых не имеют конечной аксиоматизации, например логика ${\bf D}$. Поэтому вопрос о конечной аксиоматизируемости той или иной модальной квазинормальной логики нетривиален.
Отметим, что известные частные критерии конечной аксиоматизируемости квазинормальных логик сформулированы только для квазинормальных напарников нормальных модальных логик.
В данной работе получено обобщение этих частных критериев на случай произвольных квазинормальных модальных логик, попутно указана возможная аксиоматизация этих логик. Таким образом, получен частный критерий конечной аксиоматизируемости, общий как для квазинормальных напарников нормальных логик, так и для квазинормальных логик, которые таковыми не являются.
Также в работе приведен алгоритм, который по относительной аксиоматизации квазинормальной логики $L$ над квазинормальным вариантом логики ${\bf K}$ дает абсолютную аксиоматизацию логики $L$.
Отдельно рассмотрены аксиоматизации расширений логики ${\bf K4}$. Сформулирован частный критерий конечной аксиоматизируемости расширений этой логики. Приведен алгоритм, который по относительной аксиоматизации квазинормальной логики $L$ над квазинормальным вариантом логики ${\bf K4}$ дает абсолютную аксиоматизацию логики $L$.
Скачивания
Данные скачивания пока не доступны.
Article Details
Как цитировать
Горбунов И. А. Конечная аксиоматизируемость квазинормальных модальных логик // Логические исследования / Logical Investigations. 2019. Т. 25. № 1. C. 88-99.
Выпуск
Раздел
Неклассические логики
Данные о финансировании
-
Российский Фонд Фундаментальных Исследований (РФФИ)
Номер гранта №17-03-00818-ОГН;№18-011-00869-а
Литература
Горбунов, 2006 – Горбунов И.А. Модальные квазинормальные логики без независимой аксиоматизации. Тверь: Изд-во ТвГУ, 2006. 81 с.
Горбунов, 2011 – Горбунов И.А. Хорошо определенные логики // Логические исследования. Вып. 17. М.: СПб: ЦГИ, 2011. C. 95–108.
Расёва, Сикорский, 1972 – Расёва Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. М: Наука, 1972. 295 с.
Chagrov, Zakharyaschev, 1997 – Chagrov A.V., Zakharyaschev M.V. Modal Logic. Oxford University Press. 1997. 620 p.
Kracht, 1999 – Kracht M. Tools and Techniques in Modal Logic //Studie in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 142. Elsevier Science, 1999. 528 p. McKinsey, Tarski, 1948 – McKinsey J.C.C., Tarski A. Some theorems about the sentential calculi of Lewis and Heyting // Journal of Symbolic Logic. 1948. Vol 13. No. 1. P. 1–15.
Segerberg, 1971 – Segerberg K. An Essay in Classical Modal Logic // FILOSOFISKA STUDIER. No. 13. Uppsala, 1971. 250 p.
Zakharyaschev et al., 2001 – Zakharyaschev M., Wolter F., and Chagrov A. Advanced Modal Logic // Handbook of Philosophical Logic, 2nd edition, D.M. Gabbay and F. Guenthner, editors, Vol 3. Kluwer Academic Publishers, 2001. P. 83–266.
Zakharyaschev, 1992 – Zakharyaschev M.V. Canonical formulas for K4. Part I: Basic results // Journal of Symbolic Logic. 1992. Vol 57. No. 4. P. 1377–1402.
Zakharyaschev, 1996 – Zakharyaschev M.V. Canonical formulas for K4. Part II: Cofinal subframe logics // Journal of Symbolic Logic. 1996. Vol 61. No. 2. P. 421–449.
Горбунов, 2011 – Горбунов И.А. Хорошо определенные логики // Логические исследования. Вып. 17. М.: СПб: ЦГИ, 2011. C. 95–108.
Расёва, Сикорский, 1972 – Расёва Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. М: Наука, 1972. 295 с.
Chagrov, Zakharyaschev, 1997 – Chagrov A.V., Zakharyaschev M.V. Modal Logic. Oxford University Press. 1997. 620 p.
Kracht, 1999 – Kracht M. Tools and Techniques in Modal Logic //Studie in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 142. Elsevier Science, 1999. 528 p. McKinsey, Tarski, 1948 – McKinsey J.C.C., Tarski A. Some theorems about the sentential calculi of Lewis and Heyting // Journal of Symbolic Logic. 1948. Vol 13. No. 1. P. 1–15.
Segerberg, 1971 – Segerberg K. An Essay in Classical Modal Logic // FILOSOFISKA STUDIER. No. 13. Uppsala, 1971. 250 p.
Zakharyaschev et al., 2001 – Zakharyaschev M., Wolter F., and Chagrov A. Advanced Modal Logic // Handbook of Philosophical Logic, 2nd edition, D.M. Gabbay and F. Guenthner, editors, Vol 3. Kluwer Academic Publishers, 2001. P. 83–266.
Zakharyaschev, 1992 – Zakharyaschev M.V. Canonical formulas for K4. Part I: Basic results // Journal of Symbolic Logic. 1992. Vol 57. No. 4. P. 1377–1402.
Zakharyaschev, 1996 – Zakharyaschev M.V. Canonical formulas for K4. Part II: Cofinal subframe logics // Journal of Symbolic Logic. 1996. Vol 61. No. 2. P. 421–449.