Характеристические теории и обращение подстановки

Аннотация

Матрицей Линденбаума некоторой логики называют логическую матрицу, заданную на алгебре всех формул этой логики и имеющую в качестве выделенного множества некоторую ее теорию. Множество всех таких матриц называют расслоением Линденбаума. Расслоение Линденбаума некоторой логики образует характеристическое для этой логики множество логических матриц. Однако известно достаточно много логик, например классическая, которые характеризуются одной матрицей.

В работе получен ряд критериев того, что логика имеет характеристическую матрицу. Показано, что вопрос наличия такой матрицы связан с операцией обращения подстановки для определенного вида подстановок. Здесь под операцией обращения подстановки подразумеваем взятие прообраза некоторого множества формул для некоторой подстановки.

Получен следующий критерий наличия характеристической матрицы для данной логики: для некоторой логики существует не более чем счетная характеристическая матрица тогда и только тогда, когда существует такая теория, для которой матрица Линденбаума является характеристической. На основании этого факта введено понятие характеристической теории.

Как следует из Леммы Сушко, для любой логики результат обращения подстановки некоторой теории является теорией. В данной работе показано, что теория $T$ является характеристической тогда и только тогда, когда любая непротиворечивая теория является пересечением прообразов теории $T$, взятых по всем подстановкам, которые вкладывают эту теорию в $T$.
Таким образом, получается, что логика имеет характеристическую матрицу тогда и только тогда, когда существует такая теория $T$, что любая непротиворечивая теория является пересечением прообразов теории $T$, взятых по всем вкладывающим подстановкам.

В качестве иллюстрации рассматривается вопрос о характеристических теориях классической логики. Доказано, что любая полная теория классической логики является характеристической.
Замечено, что в классической логике любая полная теория является результатом обращения некоторой подстановки, примененной к некоторой характеристической теории. Приведен пример такой подстановки для случая, когда характеристическая теория является полной.

Доказано, что минимальная матрица Линденбаума классической логики является характеристической, то есть множество всех тавтологий является характеристической теорией классической логики.