О выразительных возможностях максимально паранепротиворечивых и параполных четырехзначных расширений FDE
Article Sidebar
Main Article Content
Аннотация
Статья посвящена замкнутым классам функций четырехзначной логики, которые могут быть порождены системами элементарных операций характеристических матриц для таких языковых расширений логики $\mathbf{FDE}$, которые являются одновременно максимально паранепротиворечивыми и максимально параполными. Мы начинаем с представления необходимых и достаточных условий, которым должны отвечать четырехзначные языковые расширения $\mathbf{FDE}$, чтобы быть максимально паранепротиворечивыми и максимально параполными. В обоих случаях критерии максимальности связаны с наличием в матрице рассматриваемого расширения операторов определенного рода, из-за которых это расширение не является подлогикой трехзначного языкового расширения логики Асеньо--Приста $\mathbf{LP}$ --- в случае паранепротиворечивости, и логики Клини $\mathbf{K_{3}}$ --- в случае параполноты. Далее, опираясь на теорему Бэйкера--Пиксли, мы даем описание такого множества из 5 одноместных и 20 двухместных предикатов, что любой замкнутый класс функций, порожденный системой элементарных операций четырехзначной характеристической матрицы языкового расширения $\mathbf{FDE}$, есть класс функций, сохраняющих одно из подмножеств данного множества. Это дает простой алгоритм сравнения выразительных возможностей любых произвольно взятых четырехзначных языковых расширений $\mathbf{FDE}$. Кроме того, принимая во внимание, что в приведенное множество предикатов включаются все предикаты, описывающие предполные классы функций четырехзначной логики, которые сохраняются операциями характеристической матрицы $\mathbf{FDE}$, мы приводим критерии функциональной полноты и предполноты для множества всех операций любой четырехзначной матрицы, характеризующей языковое расширение $\mathbf{FDE}$. Наконец, используя критерии максимальной паранепротиворечивости и параполноты, а также список предикатов для расширений $\mathbf{FDE}$, представленные в статье, мы идентифицируем все 14 множеств предикатов, описывающих замкнутые классы, которые соответствуют четырехзначным характеристическим матрицам тех расширений $\mathbf{FDE}$, которые являются одновременно максимально паранепротиворечивыми и максимально параполными. Это позволяет нам не только перечислить все замкнутые классы, соответствующие максимально паранепротиворечивым и параполным четырехзначным языковым расширениям $\mathbf{FDE}$, но и упорядочить их по включению.
Скачивания
Article Details
Copyright (c) 2021 Леонид Юрьевич Девяткин
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.
Литература
Жук, 2018 – Жук Д.Н. От двузначной к k-значной логике // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2018. Т. 22. Вып. 1. С. 131–149.
Нагорный, 2013 – Нагорный А.С. О пересечениях и объединениях предполных классов многозначной логики: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.09. М., 2013. 162 с.
Adams, Dziobiak, 1994 – Adams M.E, Dziobiak W. Lattices of quasivarieties of 3-element algebras // Journal of Algebra. 1994. Vol. 166. No. 1. P. 181–210.
Avron, 1999 – Avron A. On the expressive power of three-valued and four-valued languages // Journal of Logic and Computation. 1999. Vol. 9. No. 6. P. 977–994. Arieli, Avron, 1998 – Arieli O., Avron A. The value of the four values // Artificial Intelligence. 1998. Vol. 102. No. 1. P. 97–141.
Arieli, Avron, 2017 – Arieli O., Avron A. Four-valued paradefinite logics // Studia Logica. 2017. Vol. 105. No. 6. P. 1087–1122.
Arieli et al., 2011 – Arieli O., Avron A., Zamansky A. Maximal and premaximal paraconsistency in the framework of three-valued semantics // Studia Logica. 2011. Vol. 97. No. 1. P. 31–60.
Baker, Pixley, 1975 – Baker K.A., Pixley A.F. Polynomial interpolation and the Chines Remainder Theorem for algebraic systems // Mathematische Zeitschrift. 1975. Vol. 143. No. 2. P. 165–174.
Belnap, 1977 – Belnap N.D. How a computer should think // Contemporary Aspects of Philosophy / Ed. by G. Ryle. Oriel Press, 1977. P. 30–56.
Da Costa, 1974 – Da Costa N.C.A. On the theory of inconsistent formal systems // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1974. Vol. 15. No. 4. P. 497–510.
De, Omori, 2015 – De M., Omori H. Classical Negation and Expansions of BelnapDunn Logic // Studia Logica. 2015. Vol. 103. No. 5. P. 825–851.
Karpenko, 2017 – Karpenko A.S. Four-valued logics BD and DM4: Expansions // Bulletin of the Section of Logic. 2017. Vol. 46. No. 1–2. P. 33–45.
Lau, 2006 – Lau D. Function algebras on finite sets: Basic course on many-valued logic and clone theory. Springer: Science & Business Media, 2006. 670 с.
Los, 1949 – Lo´s J. O matrycach logicznych // Prace Wroclawskiego Towarzystwa Naukowego. Seria B. 1949. No. 19. P. 1–141.
Marcos, 2005 – Marcos J. Nearly every normal modal logic is paranormal // Logique et Analyse. 2005. Vol. 48. No. 189–192. P. 279–300.
Omori, Sano, 2014 – Omori H., Sano K. Da Costa meets Belnap and Nelson // Recent Trends in Philosophical Logic / Ed. by R. Ciuni, H. Wansing, C. Willkommen. Springer, 2014. P. 145–166.
Omori, Sano, 2015 – Omori H., Sano K. Generalizing functional completeness in Belnap–Dunn logic // Studia Logica. 2015. Vol. 103. No. 5. P. 883–917.
Omori, Wansing, 2017 – Omori H., Wansing H. 40 years of FDE: an introductory overview // Studia Logica. 2017. Vol. 105. No. 6. P. 1021–1049.
Petrukhin, Shangin, 2019 – Petrukhin Ya.I., Shangin V.O. Correspondence analysis and automated proof-searching for first degree entailment // European Journal of Mathematics. 2019. P. 1–44.
Pˇrenosil, 2021 – Pˇrenosil A. De Morgan clones and four-valued logics // Algebra universalis. 2021. Vol. 82. No. 2. P. 1–42.
Priest, 2008 – Priest G. An introduction to non-classical logic: From if to is.Cambridge University Press, 2008. 613 p.
Pynko, 1999 – Pynko A. Functional Completeness and Axiomatizability within Belnap’s Four-Valued Logic and its Expansions // Journal of Applied NonClassical Logics. 1999. Vol. 9. No. 1. P. 61–105.
Shapiro, 2017 – Shapiro L. LP, K3 and FDE as Substructural Logics // The Logica Yearbook 2016 / Ed. by P. Arazim and T. Laviˇcka. London: College Publications, 2017. P. 257–272.
Shoesmith, Smiley, 1978 – Shoesmith D.J., Smiley T.J. Multiple-conclusion logic. CUP Archive, 1978. 396 p.
Shramko et al., 2017 – Shramko Y., Zaitsev D., Belikov A. First-Degree Entailment and its Relatives // Studia Logica. 2017. Vol. 105. P. 1291–1317.
Shramko et al., 2019 – Shramko Y., Zaitsev D., Belikov A. The FMLA-FMLA Axiomatizations of the Exactly True and Non-falsity Logics and Some of Their Cousins // Journal of Philosophical Logic. 2019. Vol. 48. P. 787–808.
Tomova, 2021 – Tomova N. A Semi-lattice of Four-valued Literal-paraconsistentparacomplete Logics // Bulletin of the Section of Logic. 2021. Vol. 50. No. 1. P. 35–53.