О трехзначных расширениях логики Клини
Article Sidebar
Опубликован:
07.11.2023
Ключевые слова:
многозначные логики, логика Клини, выразительные возможности, замкнутые классы функций, степень максимальности
Main Article Content
Аннотация
Статья посвящена одной из наиболее известных трехзначных систем – логике Клини. Исследуются выразительные возможности логики Клини и ее трехзначных расширений. Мы представляем два результата. Во-первых, найдены все возможные трехзначные расширения логики Клини – с точностью до эквивалентности относительно взаимной определимости связок. Показано, что существует всего двенадцать таких расширений. Этот список включает как логики, уже известные в литературе, так и совершенно новые. Для найденных расширений описана структура решетки, упорядоченной относительно выразительной силы ее элементов. Во-вторых, для логики Клини и ее трехзначных расширений установлено, сколько надлогик в том же языке имеет каждая из этих логик. Логика Клини имеет лишь две собственных надлогики: классическую и тривиальную. В общем случае, трехзначная логика, в которой определима матрица логики Клини, содержит не более трех собственных надлогик: классическую, тривиальную, а также промежуточную логику, задаваемую умножением матрицы исходной логики на матрицу классической логики в той же сигнатуре. Промежуточная логика существует только для двух типов трехзначных расширений логики Клини: в расширениях, эквивалентных логике Лукасевича, а также в логиках, матрицы которых содержат как бивалентную подматрицу, универсумом которой выступают классические значения истинности, так и подматрицу, универсум которой состоит из одного лишь промежуточного значения. Все трехзначные расширения логики Клини, которые не сохраняют классические значения, имеют только одну собственную надлогику – тривиальную.
Скачивания
Данные скачивания пока не доступны.
Article Details
Как цитировать
Девяткин Л. Ю. О трехзначных расширениях логики Клини // Логические исследования / Logical Investigations. 2023. Т. 29. № 2. C. 59-88.
Выпуск
Раздел
Неклассические логики
Copyright (c) 2023 Леонид Юрьевич Девяткин
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.
Литература
Жук, 2011 – Жук Д.Н. Предикатный метод построения решетки Поста // Дискретная математика. 2011. Т. 23. № 2. С. 115–128.
Жук, 2018 – Жук Д.Н. От двузначной к k-значной логике // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2018. Т. 22. Вып. 1. С. 131–149.
Знаменская, 2012 – Знаменская Н.А. К проблеме выразимости операций характеристических матриц паранепротиворечивых и параполных логик // Логические исследования. 2012. Т. 18. C. 132–140.
Знаменская, Попов, 2009 – Знаменская Н.А., Попов В.М. Паранормальная логика PContPComp как пересечение паранепротиворечивой логики PCont и параполной логики PComp // Шестые смирновские чтения по логике. Материалы Международн. науч. конф. (г. Москва, 17–19 июня 2009). М., 2009. С. 63–65.
Карпенко, 2010 – Карпенко А.С. Развитие многозначной логики. М.: ЛКИ, 2010. 448 с.
Попов, 2009 – Попов В.М. Между Par и множеством всех формул // Шестые смирновские чтения по логике. Материалы Международн. науч. конф. (г. Москва, 17–19 июня 2009). М., 2009. С. 93–95.
Розоноэр, 1983 – Розоноэр Л.И. О выявлении противоречий в формальных теориях. I // Автоматика и телемеханика. 1983. Вып. 6. C. 113–124.
Томова, 2010 – Томова Н.Е. Импликативные расширения регулярных логик Клини // Логические исследования / Logical Investigations. 2010. Т. 16. C. 233–258.
Томова, 2012 – Томова Н.Е. Естественные трехзначные логики: функциональные свойства и отношения. М.: ИФ РАН, 2012. 89 с.
Финн, 1969 – Финн В.К. О предполноте класса функций, соответствующего трехзначной логике Я. Лукасевича // Научно-техническая информация. Сер 2. 1969. Вып 10. С. 35–38.
Яблонский, 1958 – Яблонский С.В. Функциональные построения в k-значной логике // Труды МИАН СССР. 1958. Т. 51. С. 5–142.
Adams, Dziobiak, 1994 – Adams M.E., Dziobiak W. Lattices of quasivarieties of 3-element algebras // Journal of Algebra. 1994. Vol. 166. № 1. P. 181–210.
Arieli, Avron, 2015 – Arieli O., Avron A. Three-valued paraconsistent propositional logics // New Directions in Paraconsistent Logic / Ed. by J.-Y. B´eziau et al. Springer India, 2015. P. 91–129.
Asenjo, 1966 – Asenjo F.G. A calculus of antinomies // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1966. Vol. 7. P. 103–105.
Asenjo, Tamburino 1975 – Asenjo F.G., Tamburino J. Logic of antinomies // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1975. Vol. 16. № 1. P. 17–44.
Avron, 1986 – Avron A. On an implication connective of RM // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1986. Vol. 27. № 2. P. 201–209.
Avron, 1991 – Avron A. Natural 3-valued logics — characterization and proof theory // The Journal of Symbolic Logic. 1991. Vol. 56. № 1. P. 276–294.
Avron, 1999 – Avron A. On the expressive power of three-valued and four-valued languages // Journal of Logic and Computation. 1999. Vol. 9. № 6. P. 977–994.
Ciuni, 2015 – Ciuni R. Conjunction in paraconsistent weak Kleene logic // Logica Yearbook 2014 / Ed. by P. Arazim and M. Danc´ak. London: College Publications, 2015. P. 61–76.
Grigolia, Finn, 1993 – Finn V.K., Grigolia R. Nonsense logics and their algebraic properties // Theoria. 1993. Vol. 59. № 1–3. P. 207–273.
Kleene, 1938 – Kleene S.C. On notation for ordinal numbers // The Journal of Symbolic Logic. 1938. Vol. 3. № 4. P. 150–155.
Kleene, 1952 – Kleene S.C. Introduction to metamathematics. Groningen: WoltersNoordhoff Publishing, 1952. 560 p.
Lau, 2006 – Lau D. Function algebras on finite sets: Basic course on many-valued logic and clone theory. Springer Science & Business Media, 2006. 670 с.
Makarov, Makarov, 2019 – Makarov A.V., Makarov V.V. Cardinality of the continuum of closed superclasses of some minimal classes in the partially ordered set L 3 2 // Moscow University Mathematics Bulletin. 2009. Vol. 74. № 4. P. 174.
Paoli, Pra Baldi, 2021 – Paoli F., Pra Baldi M. Extensions of paraconsistent weak Kleene logic // Logic Journal of the IGPL. 2021. Vol. 29. № 5. P. 798–822.
Petrukhin, Shangin, 2018 – Petrukhin Y., Shangin V. Natural three-valued logics characterised by natural deduction // Logique et Analyse. 2018. Vol. 244. P. 407427.
Petrukhin, Shangin, 2019 – Petrukhin Y., Shangin V. Automated proof-searching for strong Kleene logic and its binary extensions via correspondence analysis // Logic and logical philosophy. 2019. Vol. 28. № 2. P. 223–257.
Priest, 1979 – Priest G. The logic of paradox // Journal of Philosophical Logic. 1979. Vol. 8. P. 219–241.
Pynko, 2000 – Pynko A.P. Subprevarieties versus extensions. Application to the logic of paradox // The Journal of Symbolic Logic. 2000. Vol. 65. № 2. P. 756–766.
Robles, 2019 – Robles G. Reduced Routley–Meyer semantics for the logics characterized by natural implicative expansions of Kleene’s strong 3-valued matrix // Logic Journal of the IGPL. 2019. Vol. 27. № 1. P. 69–92.
Robles, 2021 – Robles G. The class of all 3-valued implicative expansions of Kleene’s Strong Logic containing Anderson and Belnap’s First Degree Entailment Logic // Journal of Applied Logics. 2021. Vol. 8. № 7. P. 2035–2072.
Robles, L´opez, 2020 – Robles G., L´opez S. M. Selecting the class of all 3-valued implicative expansions of Kleene’s strong logic containing Routley and Meyer’s logic B // Logique et Analyse. 2020. Vol. 252. P. 443–464.
Robles, M´endez, 2019 – Robles G., M´endez J.M. Partiality and its dual in natural implicative expansions of Kleene’s strong 3-valued matrix with only one designated value // Logic Journal of the IGPL. 2019. Vol. 27. № 6. P. 910–932.
Robles, M´endez, 2020 – Robles G., M´endez J.M. The class of all natural implicative expansions of Kleene’s Strong Logic functionally equivalent to Lukasiewicz’s 3-Valued Logic L3 // Journal of Logic, Language and Information. 2020. Vol. 29. № 3. P. 349–374.
Robles, M´endez, 2021 – Robles G., M´endez J.M. A class of implicative expansions of Kleene’s Strong Logic, a subclass of which is shown functionally complete via the precompleteness of Lukasiewicz’s 3-Valued Logic L3 // Journal of Logic, Language and Information. 2021. Vol. 30. № 3. P. 533–556.
Robles, M´endez, 2022 – Robles G., M´endez, J.M. A remark on functional completeness of binary expansions of Kleene’s strong 3-valued logic // Logic Journal of the IGPL. 2022. Vol. 30. № 1. P. 21–33.
Robles, Salto, M´endez, 2020 – Robles G., Salto F., M´endez J.M. Belnap–Dunn semantics for natural implicative expansions of Kleene’s strong three-valued matrix II. Only one designated value // Journal of Applied Non-Classical Logics. 2019. Vol. 29. № 3. P. 307–325.
Slupecki, 1946 – Slupecki J. Pelny tr´ojwarto´sciowy rachunek zda´n // Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska. 1946. Vol. 1. No. 3. Sectio F. P. 193–209.
Tamminga, 2014 – Tamminga A. Correspondence analysis for strong three-valued logic // Logical Investigations. 2014. Vol. 20. P. 253–266.
Tokarz, 1973 – Tokarz M. Connections between some notions of completeness of structural propositional calculi // Studia Logica. 1973. Vol. 32. P. 77–91.
Tomova, 2012 – Tomova N.E. A lattice of implicative extensions of regular Kleene’s logics // Reports on Mathematical Logic. 2012. No. 47. P. 173–182.
W´ojcicki, 1974 – W´ojcicki R. The logics stronger than Lukasiewicz’s three valued sentential calculus: The notion of degree of maximality versus the notion of degree of completeness // Studia Logica. 1974. Vol. 33. № 2. P. 201–214.
W´ojcicki, 1988 – W´ojcicki R. Theory of Logical Calculi. Dordrecht: Springer, 1988. 473 p.
Wojtylak, 1979 – Wojtylak P. Matrix representations for structural strengthenings of a propositional logic // Studia Logica. 1979. Vol. 38. № 3. P. 263–266.
Zygmunt, 1974 – Zygmunt J. A note on direct products and ultraproducts of logical matrices // Studia Logica. 1947. Vol. 33. P. 349–357.
Жук, 2018 – Жук Д.Н. От двузначной к k-значной логике // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2018. Т. 22. Вып. 1. С. 131–149.
Знаменская, 2012 – Знаменская Н.А. К проблеме выразимости операций характеристических матриц паранепротиворечивых и параполных логик // Логические исследования. 2012. Т. 18. C. 132–140.
Знаменская, Попов, 2009 – Знаменская Н.А., Попов В.М. Паранормальная логика PContPComp как пересечение паранепротиворечивой логики PCont и параполной логики PComp // Шестые смирновские чтения по логике. Материалы Международн. науч. конф. (г. Москва, 17–19 июня 2009). М., 2009. С. 63–65.
Карпенко, 2010 – Карпенко А.С. Развитие многозначной логики. М.: ЛКИ, 2010. 448 с.
Попов, 2009 – Попов В.М. Между Par и множеством всех формул // Шестые смирновские чтения по логике. Материалы Международн. науч. конф. (г. Москва, 17–19 июня 2009). М., 2009. С. 93–95.
Розоноэр, 1983 – Розоноэр Л.И. О выявлении противоречий в формальных теориях. I // Автоматика и телемеханика. 1983. Вып. 6. C. 113–124.
Томова, 2010 – Томова Н.Е. Импликативные расширения регулярных логик Клини // Логические исследования / Logical Investigations. 2010. Т. 16. C. 233–258.
Томова, 2012 – Томова Н.Е. Естественные трехзначные логики: функциональные свойства и отношения. М.: ИФ РАН, 2012. 89 с.
Финн, 1969 – Финн В.К. О предполноте класса функций, соответствующего трехзначной логике Я. Лукасевича // Научно-техническая информация. Сер 2. 1969. Вып 10. С. 35–38.
Яблонский, 1958 – Яблонский С.В. Функциональные построения в k-значной логике // Труды МИАН СССР. 1958. Т. 51. С. 5–142.
Adams, Dziobiak, 1994 – Adams M.E., Dziobiak W. Lattices of quasivarieties of 3-element algebras // Journal of Algebra. 1994. Vol. 166. № 1. P. 181–210.
Arieli, Avron, 2015 – Arieli O., Avron A. Three-valued paraconsistent propositional logics // New Directions in Paraconsistent Logic / Ed. by J.-Y. B´eziau et al. Springer India, 2015. P. 91–129.
Asenjo, 1966 – Asenjo F.G. A calculus of antinomies // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1966. Vol. 7. P. 103–105.
Asenjo, Tamburino 1975 – Asenjo F.G., Tamburino J. Logic of antinomies // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1975. Vol. 16. № 1. P. 17–44.
Avron, 1986 – Avron A. On an implication connective of RM // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1986. Vol. 27. № 2. P. 201–209.
Avron, 1991 – Avron A. Natural 3-valued logics — characterization and proof theory // The Journal of Symbolic Logic. 1991. Vol. 56. № 1. P. 276–294.
Avron, 1999 – Avron A. On the expressive power of three-valued and four-valued languages // Journal of Logic and Computation. 1999. Vol. 9. № 6. P. 977–994.
Ciuni, 2015 – Ciuni R. Conjunction in paraconsistent weak Kleene logic // Logica Yearbook 2014 / Ed. by P. Arazim and M. Danc´ak. London: College Publications, 2015. P. 61–76.
Grigolia, Finn, 1993 – Finn V.K., Grigolia R. Nonsense logics and their algebraic properties // Theoria. 1993. Vol. 59. № 1–3. P. 207–273.
Kleene, 1938 – Kleene S.C. On notation for ordinal numbers // The Journal of Symbolic Logic. 1938. Vol. 3. № 4. P. 150–155.
Kleene, 1952 – Kleene S.C. Introduction to metamathematics. Groningen: WoltersNoordhoff Publishing, 1952. 560 p.
Lau, 2006 – Lau D. Function algebras on finite sets: Basic course on many-valued logic and clone theory. Springer Science & Business Media, 2006. 670 с.
Makarov, Makarov, 2019 – Makarov A.V., Makarov V.V. Cardinality of the continuum of closed superclasses of some minimal classes in the partially ordered set L 3 2 // Moscow University Mathematics Bulletin. 2009. Vol. 74. № 4. P. 174.
Paoli, Pra Baldi, 2021 – Paoli F., Pra Baldi M. Extensions of paraconsistent weak Kleene logic // Logic Journal of the IGPL. 2021. Vol. 29. № 5. P. 798–822.
Petrukhin, Shangin, 2018 – Petrukhin Y., Shangin V. Natural three-valued logics characterised by natural deduction // Logique et Analyse. 2018. Vol. 244. P. 407427.
Petrukhin, Shangin, 2019 – Petrukhin Y., Shangin V. Automated proof-searching for strong Kleene logic and its binary extensions via correspondence analysis // Logic and logical philosophy. 2019. Vol. 28. № 2. P. 223–257.
Priest, 1979 – Priest G. The logic of paradox // Journal of Philosophical Logic. 1979. Vol. 8. P. 219–241.
Pynko, 2000 – Pynko A.P. Subprevarieties versus extensions. Application to the logic of paradox // The Journal of Symbolic Logic. 2000. Vol. 65. № 2. P. 756–766.
Robles, 2019 – Robles G. Reduced Routley–Meyer semantics for the logics characterized by natural implicative expansions of Kleene’s strong 3-valued matrix // Logic Journal of the IGPL. 2019. Vol. 27. № 1. P. 69–92.
Robles, 2021 – Robles G. The class of all 3-valued implicative expansions of Kleene’s Strong Logic containing Anderson and Belnap’s First Degree Entailment Logic // Journal of Applied Logics. 2021. Vol. 8. № 7. P. 2035–2072.
Robles, L´opez, 2020 – Robles G., L´opez S. M. Selecting the class of all 3-valued implicative expansions of Kleene’s strong logic containing Routley and Meyer’s logic B // Logique et Analyse. 2020. Vol. 252. P. 443–464.
Robles, M´endez, 2019 – Robles G., M´endez J.M. Partiality and its dual in natural implicative expansions of Kleene’s strong 3-valued matrix with only one designated value // Logic Journal of the IGPL. 2019. Vol. 27. № 6. P. 910–932.
Robles, M´endez, 2020 – Robles G., M´endez J.M. The class of all natural implicative expansions of Kleene’s Strong Logic functionally equivalent to Lukasiewicz’s 3-Valued Logic L3 // Journal of Logic, Language and Information. 2020. Vol. 29. № 3. P. 349–374.
Robles, M´endez, 2021 – Robles G., M´endez J.M. A class of implicative expansions of Kleene’s Strong Logic, a subclass of which is shown functionally complete via the precompleteness of Lukasiewicz’s 3-Valued Logic L3 // Journal of Logic, Language and Information. 2021. Vol. 30. № 3. P. 533–556.
Robles, M´endez, 2022 – Robles G., M´endez, J.M. A remark on functional completeness of binary expansions of Kleene’s strong 3-valued logic // Logic Journal of the IGPL. 2022. Vol. 30. № 1. P. 21–33.
Robles, Salto, M´endez, 2020 – Robles G., Salto F., M´endez J.M. Belnap–Dunn semantics for natural implicative expansions of Kleene’s strong three-valued matrix II. Only one designated value // Journal of Applied Non-Classical Logics. 2019. Vol. 29. № 3. P. 307–325.
Slupecki, 1946 – Slupecki J. Pelny tr´ojwarto´sciowy rachunek zda´n // Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska. 1946. Vol. 1. No. 3. Sectio F. P. 193–209.
Tamminga, 2014 – Tamminga A. Correspondence analysis for strong three-valued logic // Logical Investigations. 2014. Vol. 20. P. 253–266.
Tokarz, 1973 – Tokarz M. Connections between some notions of completeness of structural propositional calculi // Studia Logica. 1973. Vol. 32. P. 77–91.
Tomova, 2012 – Tomova N.E. A lattice of implicative extensions of regular Kleene’s logics // Reports on Mathematical Logic. 2012. No. 47. P. 173–182.
W´ojcicki, 1974 – W´ojcicki R. The logics stronger than Lukasiewicz’s three valued sentential calculus: The notion of degree of maximality versus the notion of degree of completeness // Studia Logica. 1974. Vol. 33. № 2. P. 201–214.
W´ojcicki, 1988 – W´ojcicki R. Theory of Logical Calculi. Dordrecht: Springer, 1988. 473 p.
Wojtylak, 1979 – Wojtylak P. Matrix representations for structural strengthenings of a propositional logic // Studia Logica. 1979. Vol. 38. № 3. P. 263–266.
Zygmunt, 1974 – Zygmunt J. A note on direct products and ultraproducts of logical matrices // Studia Logica. 1947. Vol. 33. P. 349–357.