Реляционная полнота множества силлогистических констант

Аннотация

В статье исследуется вопрос о полноте множества силлогистических констант. Эти константы понимаются как знаки отношений между двумя непустыми множествами (объемами двух общих терминов). Среди указанных отношений особое место занимают «эйлеровские»: (1) равенство множеств, (2) строгое включение первого множества во второе, (3) строгое включение второго множества в первое, (4) перекрещивание множеств, (5) несовместимость множеств. Остальные отношения представляют из себя комбинации эйлеровских. Каждая константа $k$ в предлагаемом силлогистическом языке кодируется последовательностью (возможно пустой) попарно различных чисел из множества {1, 2, 3, 4, 5}, расположенных по возрастанию. Эта последовательность указывает на номера тех эйлеровских отношений, при которых простое высказывание формы $SkP$ истинно. Ранее была задана точная теоретико-множественная семантика «универсального» языка, содержащего все силлогистические константы. Вводятся понятия выразимости силлогистической константы в «локальном» языке силлогистики, содержащем лишь некоторые из таких констант. Множество исходных констант «локального» языка реляционно полно, если и только если в нем выразима любая силлогистическая константа «универсального» языка. Формулируются критерии реляционной полноты. Доказывается метатеорема о том, что множество силлогистических констант реляционно полно, если и только если его элементами являются: константа, содержащая ровно одно из двух чисел — либо 2, либо 3; константа, содержащая ровно одно из двух чисел — либо 1, либо 4; константа, содержащая ровно одно из двух чисел — либо 1, либо 5; константа, содержащая ровно одно из двух чисел — либо 4, либо 5.