Кластерная семантика для модальной логики

Аннотация

Одним из основных направлений исследований Ю.В. Ивлева было построение естественных («содержательных») семантик модальной логики. Предложенный им подход к анализу алетических модальных понятий предполагает различение фактических и логических модальностей и построение логических систем, описывающих их свойства. При построении систем с фактическими модальностями для выражения смысла модальных операторов и логических связок используется понятие квазифункции, являющееся нетривиальным обобщением понятия функции. На сегодняшний день квазифункциональные логики хорошо известны в мировой логической литературе. В силу специфики представляемых модальных понятий большинство квазифункциональных систем являются ненормальными. Для построения естественной теории логических модальностей Ю.В. Ивлевым была предложена идея дополнительной интерпретации пропозициональных переменных формулы с модальными операторами как обозначающих логически истинные, логически ложные, логически недетерминированные высказывания. Указанные интерпретации выполняют в теории логических модальностей роль, аналогичную роли квазифункций в системах с фактическими модальностями. В результате таких интерпретаций на основе исходного множества описаний состояний (о.с.) для формулы образуются конечные множества и системы множеств о.с., выполняющие роль модельных структур традиционных семантик возможных миров. Естественной формализацией теории логических модальностей оказалась известная система Льюиса $S5$. При помощи определенных модификаций стратегии построения семантики для $S5$ могут быть построены семантики аналогичного типа для основных нормальных модальных логик $S4$, $Br$, $T$, $D$, $K$, а также для интуиционистской системы Int. В отличие от квазифункциональных логик, данное направление исследований Ю.В. Ивлева практически неизвестно. Описанию стратегии построения естественной семантики для указанных систем посвящена настоящая статья.