Вполне-определённые логики

Аннотация

Обычно (особенно в рамках учебных курсов логики) теорема о дедукции воспринимается как техническое средство, облегчающее построение выводов в данной логике. При этом обходится вниманием тот факт, что если для логики верна теорема о дедукции для некоторого множества формул, то это дает новые возможности при задании отношения логического следования данной логики. При некоторых условиях, используя теорему о дедукции, вопрос о принадлежности секвенции к отношению логического следования можно свести к вопросу о принадлежности формул некоторого вида ко множеству тавтологий. Таким образом, множество тавтологий логики, обладающей дедуктивным свойством, полностью определяет саму логику. Такие логики получили в работах Р. Вуйцицкого название $\textit{вполне-определенных}$ логик (well-determined logic). Он же отметил, что для того, чтобы логика была вполне-определенной, в некоторых случаях достаточно, чтобы для логики был верен слабый вариант теоремы о дедукции (о выводимости из формулы). Заметим, что интерес к вполне-определенным логикам, в частности, связан с тем, что для их семантического задания достаточно полной семантики, а требование сильной полноты не обязательно.

Множества формул, которые позволяют задать отношение стандартного логического следования, исследуя вопрос о принадлежности к этому множеству некоторых импликаций, были названы
Р. Вуйцицким $\textit{импликационными системами}$ (entailment system) или $\textit{дедуктивными множествами}$. При этом понятия вполне-определенной логики и дедуктивного множества рассматривались Р. Вуйцицким для логик в языках, содержащих конъюнкцию и импликацию.

В нашей работе множества формул, которые позволяют задать отношение логического следования формулы из формулы, получили название $\textit{ слабодедуктивных множеств}$. Найден критерий слабой дедуктивности. Построена минимальная слабодедуктивная логика в языке, в котором импликация является единственной связкой.

Кроме того, понятия вполне-определенной логики и дедуктивного множества были расширены на языки, которые могут и не содержать конъюнкцию. Найден критерий дедуктивности множеств в таких языках. В языке, единственной связкой которого является импликация, построена минимальная вполне-определенная логика. Доказано, что теорема о дедукции не верна для этой логики.